Oscilador harmônico quântico na mecân. Graceli genral.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

$/$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ - $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Mecânica clássica e mecânica quântica

A dinâmica de uma partícula pontual de massa $�$ em um regime não-relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz, pode ser determinada através da função lagrangiana^[6]^[7]

$L={\frac {1}{2}}m({\dot {q}}^{i})^{2}-V(q)$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

em que $(q^{i},{\dot {q}}^{i})$ (que são respectivamente coordenadas generalizadas para a posição e a velocidade da partícula) determinam o espaço de fase do sistema e $V(q)$ é o potencial em que a partícula se move. Minimizando o funcional ação

$S=\int dtL(q,{\dot {q}})$

$/$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ - $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

encontra-se a equação de movimento para esse sistema,

$m{\frac {d^{2}q^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial V(q)}{\partial q^{i}}}$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

que é a equação de Newton, desde que $\mathbf {F} =-\nabla V(q)$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Existe outra formulação equivalente da mecânica clássica, conhecida como formulação hamiltoniana e que pode ser diretamente relacionada a formulação lagrangiana acima. Para se fazer contato entre as duas formulações, define-se o momento

$p^{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

de maneira que a função hamiltoniana é dada por

$H(q,p)=p^{i}{\dot {q}}^{i}-L(q^{i},{\dot {q}}^{i})$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

que para a escolha da lagrangiana acima, tem-se

$H(q,p)={\frac {(p^{i})^{2}}{2m}}+V(q)$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Assim como no caso da função lagrangiana, a hamiltoniana descreve toda a dinâmica de um sistema clássico, portanto, considerando uma variação de $H(q^{i},p^{i})$ tem-se um par de equações diferenciais de primeira ordem conhecidas como equações de Hamilton

${\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p^{i}}},\quad {\dot {p}}^{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

e que equivale a equação de Newton, que é de segunda ordem. No formalismo hamiltoniano, usando a regra da cadeia, pode-se escrever qualquer variação temporal de uma função $F=F(t;q(t);{\dot {q}}(t))$ , em termos das equações de Hamilton acima, de modo que,

${\begin{aligned}{\dot {F}}&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\dot {q^{i}}}+{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\dot {p^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\{H,F\},\end{aligned}}$

$/$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ - $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

onde o parêntese de Poisson é definido como

$\{A,B\}={\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p^{i}}}$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Existem diversas maneiras de realizar a quantização de um sistema clássico, tais como quantização por integrais funcionais e quantização canônica. Esse último método em particular, consiste na substituição do parêntese de Poisson por comutadores^[8]

$\{A,B\}\to {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

onde ${\hat {A}},{\hat {B}}$ , são operadores num espaço de Hilbert. Com essas substituições, o parêntese de Poisson entre duas coordenadas generalizadas torna-se

$[{\hat {p}}^{i},{\hat {q}}^{j}]=-i\hbar \delta ^{ij}$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Um aspecto importante a ser observado é que os operadores ${\hat {p}}^{i}$ e ${\hat {E}}$ podem ser representados como os operadores diferencias

${\hat {p}}^{i}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q^{i}}},\quad ,{\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

$/$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ - $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

de maneira que a função hamiltoniana, torna-se um operador no espaço de Hilbert, chamado operador hamiltoniano que atua em uma função $\psi (q,t)$

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}(q)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

que é a equação de Schrödinger.

Teoria Clássica de Campos

A formulação lagrangiana e a hamiltoniana da mecânica clássica são refinamentos da mecânica newtoniana e permite o tratamento de sistemas com um número finito de graus de liberdade. Considerando um sistema mecânico unidimensional com $�$ graus de liberdade, que consiste de $�$ partículas pontuais de massa $�$ , separadas por uma distância $\epsilon$ e conectadas entre si por uma mola de constante elástica $\kappa$ . A lagrangiana para esse sistema é:

$L=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {\kappa }{2}}(x_{i}-x_{i+1})^{2}\right]$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Esse sistema pode ser estendido facilmente para o limite em que $N\to \infty$ e $L=\epsilon N\to \infty$ . No entanto, se o comprimento total do sistema estiver fixo, tem-se o limite contínuo $\epsilon \to 0$ , de modo que a lagrangiana terá a forma

$L=\int dx{\frac {1}{2}}\left[\mu {\dot {\phi (t,x)}}^{2}-\nu \left({\frac {d\phi (t,x)}{dx}}\right)^{2}\right]$ ,

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

onde $\phi (t,x)$ representa o deslocamento da partícula relativa a posição $�$ no instante de tempo $�$ . Também, define-se as quantidades $\mu =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {m}{\epsilon }}$ $\nu =\lim _{\epsilon \to 0}\kappa \epsilon$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Generalizando essa discussão prévia para um sistema relativístico, tem-se uma lagrangiana que será uma função do campo $\phi (x)$ , em que $x=x^{\mu }$ e das derivadas $\partial _{\mu }\phi (x)$ , dessa maneira, o funcional ação pode ser escrito como

$S=\int dtL(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Finalmente, a lagrangiana pode ser escrita como

$L(\phi ,\partial _{\mu }\phi )=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$ ,

onde ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$ , é conhecida como densidade lagrangiana.^[9] A equação de Euler-Lagrange é:

$\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$ .

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Primeiras unificações. Equações relativísticas

Equação de Klein-Gordon

Como foi dito acima, quando Schrödinger primeiro procurou uma equação que regesse os sistemas quânticos, pautou sua busca admitindo uma aproximação relativista, encontrando a depois redescoberta equação de Klein-Gordon:

\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

onde

\square \equiv \eta _{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial ^{\nu }

A equação de Klein-Gordon, às vezes chamada de equação de Klein-Fock-Gordon (ou ainda Klein-Gordon-Fock) pode ser deduzida de algumas maneiras diferentes.

Usando-se a definição relativística de energia

E^{2}=\left.p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right.

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

chega-se à equação:

{\sqrt {(-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2}}}\psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Essa expressão, por conter operadores diferenciais sob o radical, além de apresentar dificuldades computacionais, também apresenta dificuldades conceituais, já que se torna uma teoria não-local (pelo fato de a raiz poder ser expressa como uma série infinita). Por ser uma equação de segunda ordem não permite que fique bem definida a questão da normalização da função de onda.

Fock deduziu-a através da generalização da equação de Schrödinger para campos magnéticos (onde as forças dependem da velocidade). Fock e Klein usaram ambos o método de Kaluza-Klein para deduzi-la. O motivo, só mais tarde entendido, da inadequação desta equação ao átomo de hidrogênio é que ela se aplica bem somente a partículas sem carga e de spin nulo.

Equação de Dirac

Em 1928 Paul Dirac obteve uma equação relativística baseada em dois princípios básicos

A equação deveria ser linear na derivada temporal;
A equação deveria ser relativisticamente covariante.

A equação obtida por ele tinha a seguinte forma:

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\hbar c}{i}}\left(\alpha _{0}mc\psi +\alpha _{1}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{1}}}+\alpha _{2}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{2}}}+\alpha _{3}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{3}}}\right)

/

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ -

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

onde $\alpha _{0}$ , $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ e $\alpha _{3}$ não são números reais ou complexos, mas sim matrizes quadradas com N² componentes. Semelhantemente, as funções $\psi$ são na verdade matrizes coluna da forma

\psi ={\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\vdots \\\psi _{N}\end{bmatrix}}

e as matrizes $\alpha _{0}$ , $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ e $\alpha _{3}$ devem ser hermitianas.

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